Формулы с процентами в математике

Формулы с процентами в математике

Процент — одна сотая часть величины или числа. Обозначается символом "%".

1% = 1 = 0.01
100

Соотношения между десятичными дробями и процентами

  • Для преобразования десятичной дроби в проценты, ее необходимо умножить на 100.
    Например: 4 = 400%; 0.4 = 40%; 0.04 = 4%; 0.004 = 0.4%.
  • Для преобразования процентов в десятичную дробь необходимо число процентов разделить на 100.
    Например: 500% = 5; 50% = 0.5; 5% = 0.05; 0.5% = 0.005.

Наиболее распространенные типы задач на проценты

  • Найти указанный процент от заданного числа.
  • Найти число по заданному другому числу и его величине в процентах от искомого числа.
  • Найти процентное выражение одного числа от другого.
  • Найти число на заданный процент большее (меньшее) исходного числа.
  • Найти число, зная значение числа большего (меньшего) от исходного на заданный процент.
  • Найти сложные проценты.

Метод решения задач с процентами

Все соотношения и формулы, полученные для решения задач с процентами, выводятся из пропорции

Данные задачи на проценты можно записать в виде следующих соотношений:

все — 100% часть — часть в %

которые можно записать в виде пропорции

все = 100%
часть часть в %

Используя эту пропорцию можно получить формулы для решения основных типов задач на проценты.

Один процент — это одна сотая доля, обозначается знаком %. Само слово процент происходит от латинского «pro centum», что означает «сотая доля». Проценты — это удобная относительная мера, позволяющая оперировать с числами в привычном для человека формате не зависимо от размера самих чисел. Это своего рода масштаб, к которому можно привести любое число.

Проценты незаменимы в страховании, финансовой сфере, в экономических расчетах. В процентах выражаются ставки налогов, доходность капиталовложений, плата за заемные денежные средства (например, кредиты банка), темпы роста экономики и многое другое.

1. Формула расчета доли в процентном отношении.

Пусть задано два числа: A1 и A2. Надо определить, какую долю в процентном отношении составляет число A1 от A2.

В финансовых расчетах часто пишут

Пример. Какую долю в процентном отношении составляет 10 от 200

P = 10 / 200 * 100 = 5 (процентов).

2. Формула расчета процента от числа.

Пусть задано число A2. Надо вычислить число A1, составляющее заданный процент P от A2.

Пример. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Сумма процентов составит.

P = 10000 * 5 / 100 = 500.

3. Формула увеличения числа на заданный процент. Сумма с НДС.

Пусть задано число A1. Надо вычислить число A2, которое больше числа A1 на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:

Пример 1. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Общая сумма долга составит.

A2= 10000 * (1 + 5 / 100) = 10000 * 1.05 = 10500.

Пример 2. Сумма без НДС равна 1000 рублей, НДС 18 процентов. Сумма с НДС составляет:

Читайте также:  Какая кнопка на клавиатуре увеличивает масштаб

A2= 1000 * (1 + 18 / 100) = 1000 * 1.18 = 1180.

4. Формула уменьшения числа на заданный процент.

Пусть задано число A1. Надо вычислить число A2, которое меньше числа A1 на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:

Пример. Денежная сумма к выдаче за минусом подоходного налога (13 процентов). Пусть оклад составляет 10 000 рублей. Тогда сумма к выдаче составляет:

A2= 10000 * (1 — 13 / 100) = 10000 * 0.87 = 8700.

5. Формула вычисления исходной суммы. Сумма без НДС.

Пусть задано число A1, равное некоторому исходному числу A2 с прибавленным процентом P. Надо вычислить число A2. Иными словами: знаем денежную сумму с НДС, надо вычислить сумму без НДС.

Обозначим p = P / 100, тогда:

Пример. Сумма с НДС равна 1180 рублей, НДС 18 процентов. Стоимость без НДС составляет:

A2= 1180 / (1 + 0.18) = 1000.

6. Расчет процентов на банковский депозит. Формула расчета простых процентов.

Если проценты на депозит начисляются один раз в конце срока депозита, то сумма процентов вычисляется по формуле простых процентов.

S = K + (K*P*d/D)/100
Sp = (K*P*d/D)/100

Где:
S — сумма банковского депозита с процентами,
Sp — сумма процентов (доход),
K — первоначальная сумма (капитал),
P — годовая процентная ставка,
d — количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу,
D — количество дней в календарном году (365 или 366).

Пример 1. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 1 год по ставке 20 процентов.

S = 100000 + 100000*20*365/365/100 = 120000
Sp = 100000 * 20*365/365/100 = 20000

Пример 2. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 30 дней по ставке 20 процентов.

S = 100000 + 100000*20*30/365/100 = 101643.84
Sp = 100000 * 20*30/365/100 = 1643.84

7. Расчет процентов на банковский депозит при начислении процента на процент. Формула расчета сложных процентов.

Если проценты на депозит начисляются несколько раз через равные промежутки времени и зачисляются во вклад, то сумма вклада с процентами вычисляется по формуле сложных процентов.

S = K * ( 1 + P*d/D/100 ) N

Где:
S — сумма депозита с процентами,
К — сумма депозита (капитал),
P — годовая процентная ставка,
N — число периодов начисления процентов.

При расчете сложных процентов проще вычислить общую сумму с процентами, а потом вычислить сумму процентов (доход):

Sp = S — K = K * ( 1 + P*d/D/100 ) N — K

Sp = K * (( 1 + P*d/D/100 ) N — 1)

Пример 1. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 90 дней по ставке 20 процентов годовых с начислением процентов каждые 30 дней.

S = 100000 * (1 + 20*30/365/100) 3 = 105 013.02
Sp = 100000 * ((1 + 20*30/365/100) N — 1) = 5 013.02

Пример 2. Проверим формулу начисления сложных процентов для случая из предыдущего примера.

Читайте также:  По какому номеру узнать тариф мтс

Разобьем срок депозита на 3 периода и рассчитаем начисление процентов для каждого периода, использую формулу простых процентов.

S1 = 100000 + 100000*20*30/365/100 = 101643.84
Sp1 = 100000 * 20*30/365/100 = 1643.84

S2 = 101643.84 + 101643.84*20*30/365/100 = 103314.70
Sp2 = 101643.84 * 20*30/365/100 = 1670.86

S3 = 103314.70 + 103314.70*20*30/365/100 = 105013.02
Sp3 = 103314.70 * 20*30/365/100 = 1698.32

Общая сумма процентов с учетом начисления процентов на проценты (сложные проценты)

Таким образом, формула вычисления сложных процентов верна.

8. Еще одна формула сложных процентов.

Если процентная ставка дана не в годовом исчислении, а непосредственно для периода начисления, то формула сложных процентов выглядит так.

S = K * ( 1 + P/100 ) N

Где:
S — сумма депозита с процентами,
К — сумма депозита (капитал),
P — процентная ставка,
N — число периодов начисления процентов.

Пример. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 3 месяца с ежемесячным начислением процентов по ставке 1.5 процента в месяц.

S = 100000 * (1 + 1.5/100) 3 = 104 567.84
Sp = 100000 * ((1 + 1.5/100) 3 — 1) = 4 567.84

Избавьтесь от утомительных
расчетов с помощью этих Excel-таблиц >>>

  1. Платежный календарь
  2. Расчет себестоимости
  3. Расчет инвестиционных проектов
  4. Финансовый анализ
  5. Точка безубыточности. Рентабельность продаж
    Подробнее…

Платежный календарь. График и прогноз платежей и поступлений

  • Платежные Календари на месяц, 3 месяца и год
  • Деб.и Кред. задолженность
  • Отсрочка, просроченные, с наступающим сроком
  • Контроль оплаты
  • Расчет ожидаемого остатка
  • Кассовый разрыв
    Подробнее…


Расчет себестоимости и рентабельности продукции (услуг)

  • Себестоимость
  • Рентабельность
  • Маржинальный анализ
  • Точка безубыточности
  • Расходы в 10 валютах
    Подробнее…


Расчет инвестиционных проектов

  • Дисконтир. потоки
  • WACC, NPV, IRR, ROI, PI
  • Срок окупаемости
  • Устойчивость проекта
  • Расчет и Сравнение семи проектов
    Подробнее…


Финансовый анализ МСФО

  • Вертикальный и горизонтальный Анализ баланса и P&L
  • 36 коэффициентов
  • Динамика за 5 периодов
  • Риск банкротства
  • ДДС прямым и косвенным методом
  • Отчет об источниках и использовании денежных средств
    Подробнее…


Финансовый анализ РСБУ (Россия)

  • Вертикальный и горизонтальный Анализ баланса и ОПУ
  • 70 коэффициентов
  • Динамика за 8 периодов
  • Риск банкротства
    Подробнее…


Точка безубыточности. Рентабельность продаж

  • Расчет доходности при большом ассортименте
  • Прибыль
  • Наценка
  • Минимальная наценка
  • Маржинальный анализ
  • Точка безубыточности
    Подробнее…


Оценка стоимости бизнеса

  • Все три основных подхода
  • Доходный
  • Рыночный (сравнительный)
  • Затратный (имущественный)
    Подробнее…


Диаграмма Ганта. С семью дополнительными полезными функциями

  • Позволяет назначать ответственных
  • Контролировать выполнение этапа
  • Строит диаграмму ответственных
    Подробнее…

Посмотрите полный список таблиц >>>

Разработка Excel-таблиц
экономической и управленческой
тематики. Условия тут >>>

В этом разделе приведем основные формулы, используемые в базовых задачах по курсу финансовой математики (проценты, дисконтирование, рента).

Основные обозначения

$PV$ (present value) — текущая (современная) величина денежной суммы

$FV$ (future value) — будущая (наращенная) величина денежной суммы

$r, i$ — ставка наращения процентов (дробь)

$j$ — номинальная ставка процента

Читайте также:  Как украсить страницу в одноклассниках своей картинкой

$m$ — количество начислений в год

Формулы начисления процентов

Наращение по простым процентам

Наращенная сумма — это первоначальная сумма с начисленными к концу срока процентами:

где $n$ — срок ссуды, $r$ — процентная ставка.

Если срок операции $n$ задан в днях, а процентная ставка годовая, то полагают

где $t$ — число дней ссуды, $K$ — временная база начисления процентов (365,366 или 360 дней). Тогда формула принимает вид

В зависимости от применяемой временной базы и способа расчета $t$ (точное по календарю, приближенное — все месяцы по 30 дней), возможны три варианта расчета простых процентов:

  • Английская методика: (365/365) – точные проценты с точным числом дней ссуды;
  • Французская методика: (360/365) – обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
  • Германская методика: (360/360) – обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Наращение по сложным процентам

Наращенная сумма — это первоначальная сумма с начисленными к концу срока процентами:

где $n$ — срок операции, $r$ — сложная процентная ставка.

Если начисление производится $m$ раз в год, то

где $j$ — номинальная процентная ставка, $N=nm$ — общее количество периодов начисления.

Эффективная ставка $r$ – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и $m$-разовое начисление процентов в течение года по ставке $j/ m$ каждое.

Эквивалентность данных ставок записывается в виде:

Отсюда можно вывести выражения для эффективной ставки и номинальной:

$$ r =left(1+frac
ight)^
-1, quad j=mleft( sqrt[m]<1+r>-1
ight). $$

Наращение по непрерывному проценту

Формулы: дисконтирование

Для формулы простых процентов, сумма ссуды, которую надо выдать в долг чтобы получить в конце срока сумму $FV$, равна

Для формулы сложных процентов аналогично получаем:

Для случая начисления $m$ раз в год:

Здесь $1/(1+nr)$, $1/(1+r)^n$, $1/(1+j/m)^$ — дискотный множитель (учетный множитель, дисконтирующий множитель).

Формулы: потоки платежей

GПусть имеется ряд платежей $R_i$, выплачиваемых спустя время $n_i$ после начального времени. Общий срок выплат $n$ лет. Необходимо определить наращенную сумму на конец срока. Если проценты начисляются раз в год по сложной ставке $i$, то искомая сумма

Современная стоимость такого потока находится с помощью дисконтирования:

Между этими величинами (современная стоимость и на конец срока) существует явная зависимость

Рента постнумерандо

Для годовой ренты постнумерандо с равными ежегодными платежами в размере $R$, ставкой процента $i$, количеством лет $n$ (взносы в конце года) имеем:

Если проценты начисляются $m$ раз в году с номинальной ставкой $j$:

Для $p$-срочной ренты с выплатами $p$ раз в год суммами по $R/p$:

Ссылка на основную публикацию
Установить программу для сканирования документов бесплатно
Загрузите бесплатно пробную полнофункциональную версию программы для сканирования Scanitto Pro. Данная версия работает без каких-либо ограничений в течение 30 дней....
Террария мешок с сюрпризом
Мешок с сокровищамиTreasure Bag Характеристики Тип Мешок Подсказка Открывать правой кнопкой мыши Редкость Внутренний ID предмета: 3318-3332 Эксклюзивный контент ПК...
Термопринтер для печати чеков
Термопринтер для чеков — это печатное устройство, которое применяется в торговле и ряде других сфер. Большинство моделей являются стационарными и...
Установить протокол mtp media transfer protocol
Описание Компания Microsoft содержит под своим крылом множество драйверов, среди этой коллекции находится и Media Transfer Protocol, тот самый драйвер,...
Adblock detector