Формулы с процентами в математике

Процент — одна сотая часть величины или числа. Обозначается символом "%".

1%	=	1	=	0.01
		100

Соотношения между десятичными дробями и процентами

Для преобразования десятичной дроби в проценты, ее необходимо умножить на 100.
Например: 4 = 400%; 0.4 = 40%; 0.04 = 4%; 0.004 = 0.4%.
Для преобразования процентов в десятичную дробь необходимо число процентов разделить на 100.
Например: 500% = 5; 50% = 0.5; 5% = 0.05; 0.5% = 0.005.

Наиболее распространенные типы задач на проценты

Найти указанный процент от заданного числа.
Найти число по заданному другому числу и его величине в процентах от искомого числа.
Найти процентное выражение одного числа от другого.
Найти число на заданный процент большее (меньшее) исходного числа.
Найти число, зная значение числа большего (меньшего) от исходного на заданный процент.
Найти сложные проценты.

Метод решения задач с процентами

Все соотношения и формулы, полученные для решения задач с процентами, выводятся из пропорции

Данные задачи на проценты можно записать в виде следующих соотношений:

все — 100% часть — часть в %

которые можно записать в виде пропорции

все	=	100%
часть	=	часть в %

Используя эту пропорцию можно получить формулы для решения основных типов задач на проценты.

Один процент — это одна сотая доля, обозначается знаком %. Само слово процент происходит от латинского «pro centum», что означает «сотая доля». Проценты — это удобная относительная мера, позволяющая оперировать с числами в привычном для человека формате не зависимо от размера самих чисел. Это своего рода масштаб, к которому можно привести любое число.

Проценты незаменимы в страховании, финансовой сфере, в экономических расчетах. В процентах выражаются ставки налогов, доходность капиталовложений, плата за заемные денежные средства (например, кредиты банка), темпы роста экономики и многое другое.

1. Формула расчета доли в процентном отношении.

Пусть задано два числа: A₁ и A₂. Надо определить, какую долю в процентном отношении составляет число A₁ от A₂.

В финансовых расчетах часто пишут

Пример. Какую долю в процентном отношении составляет 10 от 200

P = 10 / 200 * 100 = 5 (процентов).

2. Формула расчета процента от числа.

Пусть задано число A₂. Надо вычислить число A₁, составляющее заданный процент P от A₂.

Пример. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Сумма процентов составит.

P = 10000 * 5 / 100 = 500.

3. Формула увеличения числа на заданный процент. Сумма с НДС.

Пусть задано число A₁. Надо вычислить число A₂, которое больше числа A₁ на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:

Пример 1. Банковский кредит 10 000 рублей под 5 процентов. Общая сумма долга составит.

A₂= 10000 * (1 + 5 / 100) = 10000 * 1.05 = 10500.

Пример 2. Сумма без НДС равна 1000 рублей, НДС 18 процентов. Сумма с НДС составляет:

A₂= 1000 * (1 + 18 / 100) = 1000 * 1.18 = 1180.

4. Формула уменьшения числа на заданный процент.

Пусть задано число A₁. Надо вычислить число A₂, которое меньше числа A₁ на заданный процент P. Используя формулу расчета процента от числа, получаем:

Пример. Денежная сумма к выдаче за минусом подоходного налога (13 процентов). Пусть оклад составляет 10 000 рублей. Тогда сумма к выдаче составляет:

A₂= 10000 * (1 — 13 / 100) = 10000 * 0.87 = 8700.

5. Формула вычисления исходной суммы. Сумма без НДС.

Пусть задано число A₁, равное некоторому исходному числу A₂ с прибавленным процентом P. Надо вычислить число A₂. Иными словами: знаем денежную сумму с НДС, надо вычислить сумму без НДС.

Обозначим p = P / 100, тогда:

Пример. Сумма с НДС равна 1180 рублей, НДС 18 процентов. Стоимость без НДС составляет:

A₂= 1180 / (1 + 0.18) = 1000.

6. Расчет процентов на банковский депозит. Формула расчета простых процентов.

Если проценты на депозит начисляются один раз в конце срока депозита, то сумма процентов вычисляется по формуле простых процентов.

S = K + (K*P*d/D)/100
Sp = (K*P*d/D)/100

Где:
S — сумма банковского депозита с процентами,
Sp — сумма процентов (доход),
K — первоначальная сумма (капитал),
P — годовая процентная ставка,
d — количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу,
D — количество дней в календарном году (365 или 366).

Пример 1. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 1 год по ставке 20 процентов.

S = 100000 + 100000*20*365/365/100 = 120000
Sp = 100000 * 20*365/365/100 = 20000

Пример 2. Банком принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 30 дней по ставке 20 процентов.

S = 100000 + 100000*20*30/365/100 = 101643.84
Sp = 100000 * 20*30/365/100 = 1643.84

7. Расчет процентов на банковский депозит при начислении процента на процент. Формула расчета сложных процентов.

Если проценты на депозит начисляются несколько раз через равные промежутки времени и зачисляются во вклад, то сумма вклада с процентами вычисляется по формуле сложных процентов.

S = K * ( 1 + P*d/D/100 ) N

Где:
S — сумма депозита с процентами,
К — сумма депозита (капитал),
P — годовая процентная ставка,
N — число периодов начисления процентов.

При расчете сложных процентов проще вычислить общую сумму с процентами, а потом вычислить сумму процентов (доход):

Sp = S — K = K * ( 1 + P*d/D/100 ) N — K

Sp = K * (( 1 + P*d/D/100 ) N — 1)

Пример 1. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 90 дней по ставке 20 процентов годовых с начислением процентов каждые 30 дней.

S = 100000 * (1 + 20*30/365/100) 3 = 105 013.02
Sp = 100000 * ((1 + 20*30/365/100) N — 1) = 5 013.02

Пример 2. Проверим формулу начисления сложных процентов для случая из предыдущего примера.

Разобьем срок депозита на 3 периода и рассчитаем начисление процентов для каждого периода, использую формулу простых процентов.

S₁ = 100000 + 100000*20*30/365/100 = 101643.84
Sp₁ = 100000 * 20*30/365/100 = 1643.84

S₂ = 101643.84 + 101643.84*20*30/365/100 = 103314.70
Sp₂ = 101643.84 * 20*30/365/100 = 1670.86

S₃ = 103314.70 + 103314.70*20*30/365/100 = 105013.02
Sp₃ = 103314.70 * 20*30/365/100 = 1698.32

Общая сумма процентов с учетом начисления процентов на проценты (сложные проценты)

Таким образом, формула вычисления сложных процентов верна.

8. Еще одна формула сложных процентов.

Если процентная ставка дана не в годовом исчислении, а непосредственно для периода начисления, то формула сложных процентов выглядит так.

S = K * ( 1 + P/100 ) N

Где:
S — сумма депозита с процентами,
К — сумма депозита (капитал),
P — процентная ставка,
N — число периодов начисления процентов.

Пример. Принят депозит в сумме 100 тыс. рублей сроком на 3 месяца с ежемесячным начислением процентов по ставке 1.5 процента в месяц.

S = 100000 * (1 + 1.5/100) 3 = 104 567.84
Sp = 100000 * ((1 + 1.5/100) 3 — 1) = 4 567.84

Избавьтесь от утомительных
расчетов с помощью этих Excel-таблиц >>>

Платежный календарь
Расчет себестоимости
Расчет инвестиционных проектов
Финансовый анализ
Точка безубыточности. Рентабельность продаж
Подробнее…

Платежный календарь. График и прогноз платежей и поступлений

Платежные Календари на месяц, 3 месяца и год
Деб.и Кред. задолженность
Отсрочка, просроченные, с наступающим сроком
Контроль оплаты
Расчет ожидаемого остатка
Кассовый разрыв
Подробнее…

Расчет себестоимости и рентабельности продукции (услуг)

Себестоимость
Рентабельность
Маржинальный анализ
Точка безубыточности
Расходы в 10 валютах
Подробнее…

Расчет инвестиционных проектов

Дисконтир. потоки
WACC, NPV, IRR, ROI, PI
Срок окупаемости
Устойчивость проекта
Расчет и Сравнение семи проектов
Подробнее…

Финансовый анализ МСФО

Вертикальный и горизонтальный Анализ баланса и P&L
36 коэффициентов
Динамика за 5 периодов
Риск банкротства
ДДС прямым и косвенным методом
Отчет об источниках и использовании денежных средств
Подробнее…

Финансовый анализ РСБУ (Россия)

Вертикальный и горизонтальный Анализ баланса и ОПУ
70 коэффициентов
Динамика за 8 периодов
Риск банкротства
Подробнее…

Точка безубыточности. Рентабельность продаж

Расчет доходности при большом ассортименте
Прибыль
Наценка
Минимальная наценка
Маржинальный анализ
Точка безубыточности
Подробнее…

Оценка стоимости бизнеса

Все три основных подхода
Доходный
Рыночный (сравнительный)
Затратный (имущественный)
Подробнее…

Диаграмма Ганта. С семью дополнительными полезными функциями

Позволяет назначать ответственных
Контролировать выполнение этапа
Строит диаграмму ответственных
Подробнее…

Посмотрите полный список таблиц >>>

Разработка Excel-таблиц
экономической и управленческой
тематики. Условия тут >>>

В этом разделе приведем основные формулы, используемые в базовых задачах по курсу финансовой математики (проценты, дисконтирование, рента).

Основные обозначения

$PV$ (present value) — текущая (современная) величина денежной суммы

$FV$ (future value) — будущая (наращенная) величина денежной суммы

$r, i$ — ставка наращения процентов (дробь)

$j$ — номинальная ставка процента

$m$ — количество начислений в год

Формулы начисления процентов

Наращение по простым процентам

Наращенная сумма — это первоначальная сумма с начисленными к концу срока процентами:

где $n$ — срок ссуды, $r$ — процентная ставка.

Если срок операции $n$ задан в днях, а процентная ставка годовая, то полагают

где $t$ — число дней ссуды, $K$ — временная база начисления процентов (365,366 или 360 дней). Тогда формула принимает вид

В зависимости от применяемой временной базы и способа расчета $t$ (точное по календарю, приближенное — все месяцы по 30 дней), возможны три варианта расчета простых процентов:

Английская методика: (365/365) – точные проценты с точным числом дней ссуды;
Французская методика: (360/365) – обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
Германская методика: (360/360) – обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Наращение по сложным процентам

Наращенная сумма — это первоначальная сумма с начисленными к концу срока процентами:

где $n$ — срок операции, $r$ — сложная процентная ставка.

Если начисление производится $m$ раз в год, то

где $j$ — номинальная процентная ставка, $N=nm$ — общее количество периодов начисления.

Эффективная ставка $r$ – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и $m$-разовое начисление процентов в течение года по ставке $j/ m$ каждое.

Эквивалентность данных ставок записывается в виде:

Отсюда можно вывести выражения для эффективной ставки и номинальной:

$$ r =left(1+frac
ight)^-1, quad j=mleft( sqrt[m]<1+r>-1
ight). $$

Наращение по непрерывному проценту

Формулы: дисконтирование

Для формулы простых процентов, сумма ссуды, которую надо выдать в долг чтобы получить в конце срока сумму $FV$, равна

Для формулы сложных процентов аналогично получаем:

Для случая начисления $m$ раз в год:

Здесь $1/(1+nr)$, $1/(1+r)^n$, $1/(1+j/m)^$ — дискотный множитель (учетный множитель, дисконтирующий множитель).

Формулы: потоки платежей

GПусть имеется ряд платежей $R_i$, выплачиваемых спустя время $n_i$ после начального времени. Общий срок выплат $n$ лет. Необходимо определить наращенную сумму на конец срока. Если проценты начисляются раз в год по сложной ставке $i$, то искомая сумма

Современная стоимость такого потока находится с помощью дисконтирования:

Между этими величинами (современная стоимость и на конец срока) существует явная зависимость

Рента постнумерандо

Для годовой ренты постнумерандо с равными ежегодными платежами в размере $R$, ставкой процента $i$, количеством лет $n$ (взносы в конце года) имеем:

Если проценты начисляются $m$ раз в году с номинальной ставкой $j$:

Для $p$-срочной ренты с выплатами $p$ раз в год суммами по $R/p$: