Формула для нахождения корней кубического уравнения

Формула для нахождения корней кубического уравнения

Схема метода Кардано
Приведение кубических уравнений к трехчленному виду
Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи
Формула Кардано
Пример решения кубического уравнения

Схема метода Кардано

Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени ( кубических уравнений )

ax 3 + a1x 2 +
+ a2x + a3= 0,
(1)

где a, a1, a2, a3 – произвольные вещественные числа,

Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями .

На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a . Тогда оно примет вид

x 3 + ax 2 + bx + c = 0, (2)

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

(3)

то уравнение (2) примет вид

В результате уравнение (2) примет вид

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y 3 + py + q= 0, (5)

где p, q – вещественные числа.

Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями , у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде

(6)

где t – новая переменная.

то выполнено равенство:

Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

(7)

Если теперь уравнение (7) умножить на t , то мы получим квадратное уравнение относительно t :

(8)

Формула Кардано

Решение уравнения (8) имеет вид:

В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

В развернутой форме эти решения записываются так:

Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

С другой стороны,

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

которая и называется «Формула Кардано» .

Замечание . Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

Пример . Решить уравнение

x 3 – 6x 2 – 6x – 2 = 0. (13)

Решение . Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

Читайте также:  Программа для поиска принтеров в сети
x = y + 2. (14)

Следовательно, уравнение (13) принимает вид

y 3 – 18y – 30 = 0. (15)

Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену

(16)

то уравнение (15) примет вид

(17)

Далее из (17) получаем:

Отсюда по формуле (16) получаем:

Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

или использовали формулу

Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

Замечание 1 . У уравнения (13) других вещественных корней нет.

Замечание 2 . Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

Квадратным уравнением называется уравнение вида
$ax^2 + bx + c = 0 $
Оно может иметь один корень, два или ни одного (в поле вещественных чисел).
Сначала нужно вычислить дискриминант $D=b^2-4ac $, если:

  • $D > 0$, уравнения имеет два корня;
  • $D = 0$, уравнение имеет один корень;
  • $D 0 $- тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых — три различных вещественных корня)
  • $ delta

В общем случае найти корни кубического уравнения в области комплексных чисел позволяет формула Кардано для кубического уравнения в канонической форме, названная так по имени итальянского математика Д. Кардано.

Кубическое уравнение общего вида ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, a ≠ 0.

, приводится к каноническому трехчленному виду y 3 + py + q = 0,

где

Еще одна замена переменной y = t —

приводит трехчленное кубическое уравнение к виду

Умножив обе части уравнения на t 3 , получим

Последнее уравнение является квадратным уравнением относительно t 3 , его корни можно выписать в явном виде:

Отсюда

Следовательно, корни трехчленного кубического уравнения равны

Хотя выражения для y1 и y2 выглядят по-разному, но это одни и те же числа. Преобразуем их следующим образом. В выражении для y1 домножим и числитель, и знаменатель дроби

Аналогично, для y2

Таким образом, y1 = y2 = t1 + t2, и формула Кардано для корней канонического кубического уравнения имеет вид:

Выражение называется дискриминантом кубического уравнения y 3 + py + q = 0.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее .

Читайте также:  Что такое отправка сдеком

Как известно, корень n-ой степени из комплексного числа z,

z = r *(cos&#966 + isin&#966)

имеет n комплексных значений

где

Следовательно, имеет три значения z1, z2, z3, где

В формуле Кардано два кубических корня, и их значения нужно сочетать по следующему правилу: для каждого из трех значений первого кубического корня , берется такое значение второго кубического корня, , чтобы выполнялось соотношение zi*zj = —

Чтобы избежать такого сочетания значений разных кубических корней, можно использовать формулу

или, что то же самое,

Каждому найденному по формуле Кардано значению y соответствует решение исходного уравнения x = y —

В зависимости от значения дискриминанта &#916 кубическое уравнение может иметь либо 3 действительных корня (&#916 0), либо 2 действительных корня (&#916=0) или один действительный корень (&#916=0, p=q=0). Рассмотрим все эти случаи.

1) &#916 3 действительных корня:

Если опустить промежуточные вычисления, то окончательные формулы для трех действительных корней канонического уравнения можно представить в виде

Тогда формулы для корней исходного уравнения будут иметь вид:

2 ) &#916 > 0 => 1 действительный корень и два комплексно сопряженных:

Формулы для корней исходного уравнения такие же, как в предыдущем случае

3 ) &#916=0 => 2 действительных корня:

Если &#916=0 и p=q=0, то у канонического уравнения только один корень y1=0. Соответственно, исходное уравнение будет иметь единственный корень x = —

Если кубическое уравнение имеет целый или рациональный корень, то, конечно, проще всего найти этот корень подбором, затем делением свести исходное уравнение к квадратному. Если же рациональных корней нет, то только формула Кардано может помочь найти решение.

Практическое использование формулы Кардано для решения кубических уравнений крайне затруднительно из-за громоздких вычислений. Но в особых случаях, это сделать довольно просто, например, для первого случая (&#916 0 , формулы для корней кубического уравнения можно выписать всегда. Таким образом, применение формулы Кардано оправдано, если уравнение не имеет рациональных корней.

Рассмотрим применение формулы Кардано для решения кубических уравнений на примерах.

Примеры.

Пример 1. Решить уравнение x 3 + 6x 2 + 3x — 10 = 0.

Данное уравнение легко решается и без применения формулы Кардано. Легко подобрать корень x = 1. Делением на x — 1 левой части уравнения по схеме Горнера получаем

Следовательно, x 2 + 7x + 10 = 0. Решая это квадратное уравнение, получаем

А теперь найдем корни исходного уравнения по формуле Кардано. Для данного уравнения a = 1, b = 6, c =3, d = -10. Замена переменной x = y —

приводит исходное уравнение к виду y 3 + py + q = 0, где

Читайте также:  Как взломать пароль itunes

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как &#916 каноническое уравнение имеет 3 действительных корня. Поскольку q = 0 => φ =

Тогда для корней исходного уравнения получаем:

Пример 2. Решить уравнение x 3 + 3x 2 + 4x + 2 = 0.

Для данного уравнения a = 1, b = 3, c =4, d = 2. Замена переменной x = y —

приводит исходное уравнение к виду y 3 + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как &#916 >0 => каноническое уравнение имеет 1 действительный корень и два комплексно сопряженных:

Тогда для корней исходного уравнения получаем:

Пример 3. Решить уравнение x 3 + 12x 2 + 36x + 32 = 0.

Для данного уравнения a = 1, b = 12, c =36, d = 32. Замена переменной x = y —

приводит исходное уравнение к виду y 3 + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как &#916 = 0 => уравнение имеет 2 действительных корня:

Тогда для корней исходного уравнения получаем:

Пример 4. Решить уравнение x 3 + 9x 2 + 9x — 137 = 0.

Для данного уравнения a = 1, b = 9, c =9, d = -137. Замена переменной x = y —

приводит исходное уравнение к виду y 3 + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как &#916 >0 => каноническое уравнение имеет 1 действительный корень и два комплексно сопряженных:

Тогда для корней исходного уравнения получаем:

Пример 5. Решить уравнение x 3 + 18x 2 + 90x + 50 = 0.

Для данного уравнения a = 1, b = 18, c =90, d = 50. Замена переменной x = y —

приводит исходное уравнение к виду y 3 + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как &#916 > 0 => каноническое уравнение имеет 1 действительный корень и два комплексно сопряженных:

Тогда для корней исходного уравнения получаем:

Так как запомнить промежуточные формулы для нахождения корней кубического уравнения с помощью формулы Кардано довольно сложно, то можно просто повторить вывод формулы Кардано для данного уравнения. Рассмотрим соответствующий пример.

Пример. Найти действительные корни уравнения x 3 + 12x 2 + 3x + 4 = 0.

Для данного уравнения a = 1, b = 12, c = 3, d = 4. Сделаем замену переменной x = y —

(y — 4) 3 + 12(y — 4) 2 + 3(y — 4) + 4 = 0

y 3 — 12y 2 + 48y — 64 + 12y 2 — 96y + 192 + 3y — 8 = 0

y 3 — 45y + 120 = 0.

Следовательно, p = -45, q = 120, &#916 = (60) 2 — (15) 3 = 225 >0. Значит, исходное уравнение имеет один действительный корень.

Теперь сделаем следующую замену переменной y = t —

Это уравнение домножим на t 3 и получим квадратное уравнение относительно t 3 :

t 6 + 120t 3 + 3375 = 0.

Тогда Теперь можно найти y по формуле y = t +

Вместо t можно подставить или , или , результат будет один и тот же:

Таким образом, действительный корень исходного уравнения равен

Ссылка на основную публикацию
Установить программу для сканирования документов бесплатно
Загрузите бесплатно пробную полнофункциональную версию программы для сканирования Scanitto Pro. Данная версия работает без каких-либо ограничений в течение 30 дней....
Террария мешок с сюрпризом
Мешок с сокровищамиTreasure Bag Характеристики Тип Мешок Подсказка Открывать правой кнопкой мыши Редкость Внутренний ID предмета: 3318-3332 Эксклюзивный контент ПК...
Термопринтер для печати чеков
Термопринтер для чеков — это печатное устройство, которое применяется в торговле и ряде других сфер. Большинство моделей являются стационарными и...
Установить протокол mtp media transfer protocol
Описание Компания Microsoft содержит под своим крылом множество драйверов, среди этой коллекции находится и Media Transfer Protocol, тот самый драйвер,...
Adblock detector