Фильтр чебышева 2 рода

Фильтр чебышева 2 рода

Фильтры низкой частоты Баттерворта.

K(ω) = ,

ω0 – частота среза(для фильтра прототипа она равна 1рад/с);

n – порядок фильтра (n = 2).

Рис. 1.1 – Расположение полюсов на комплексной плоскости фильтра Баттерворта

Функция передачи фильтра-прототипа Баттерворта не имеет нулей, а её полюса равномерно расположены на s-плоскости в левой половине окружности единичного радиуса.

Рис. 1.2 – АЧХ фильтра Баттерворта

Рис. 1.3 – ФЧХ фильтра Баттерворта

АЧХ фильтра Беттерворта (Рис.1.2) является максимально плоской при ω = о и ω → ∞. Это значит, что в данных точках равны нулю 2n – 1 производных АЧХ по частоте.

В целом АЧХ монотонно спадает от 1 до 0 при изменении частоты от 0 до ∞.

Листинг программы (для MatLab):

[z,p,k]=buttap(3); #нули и полюса прототипа

plot(p,’x’) #график расположения полюсов

axis ([-1.5 1.5 -1.5 1.5])

[b,a]=zp2tf(z,p,k); #коэффициенты функции передачи

h=freqs(b,a,w); #комплексный коэфициент передачи

plot(w, abs(h)),grid #график АЧХ

plot(w, unwrap(angle(h))), grid #график ФЧХ

Фильтр Чебышева 1-го рода.

K(ω) = ,

ω0 – частота среза

Tn(x) – полином Чебышева n-го порядка

n – порядок фильтра

ε – параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе пропускания

Рис. 2.4 – Расположение полюсов на комплексной плоскости фильтра Чебышева первого рода

Функция передачи фильтра Чебышева не имеет нулей, а её полюса расположены в левой половине эллипса на s-плоскости.

Рис. 2.5 – АЧХ фильтра Чебышева первого рода

Рис. 2.6 – ФЧХ фильтра Чебышева первого рода

АЧХ фильтра Чебышева первого рода (Рис.2.2) в полосе пропускания (при ω ≤ ∞) колеблется между значениями и 1, а вне полосы пропускания (при ω > ∞) монотонно затухает до 0. По сравнению с фильтром Баттерворта того же порядка обеспечивает более крутой спад АЧХ в области перехода от полосы пропускания к полосе задерживания. При ω → ∞ АЧХ стремится к 0 и является максимально плоской.

Листинг программы (для MatLab):

[z,p,k]=cheb1ap(3,0.5) #нули и полюса прототипа

plot(p,’x’) #график расположения полюсов

axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5])

[b,a]=zp2tf(z,p,k); #коэффициенты функции передачи

h=freqs(b,a,w); #комплексный коэффициент передачи

Фильтр Чебышева 2-го рода.

K(ω) = ,

ω0 – частота среза

Tn(x) – полином Чебышева n-го порядка

n – порядок фильтра

ε – параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе пропускания

Рис. 3.7 – Расположение полюсов на комплексной плоскости фильтра Чебышева второго рода

Передаточная функция имеет нули и полюсы.

Рис. 3.8 – АЧХ фильтра Чебышева второго рода

Рис. 3.9 – ФЧХ фильтра Чебышева второго рода

Коэффициент передачи при нулевой частоте равной 1, на частоте среза – заданному уровню пульсаций в полосе задерживания. При ω → ∞ коэффициент передачи равен 0 при нечетном порядке фильтра, а при четном – уровню пульсации. При ω = 0 АЧХ (Рис.3.2) является максимально плоской.

Листинг программы (для MatLab):

[z,p,k]=cheb2ap(3,10) #нули и полюса прототипа

plot(p,’x’) #график расположения полюсов

plot(z,’o’) #график расположения нулей

[b,a]=zp2tf(z,p,k); #коэффициенты функции передачи

h=freqs(b,a,w); #комплексный коэфициент передачи

Методические указания

к лабораторной работе по теме:

«Построение цифрового фильтра с заданной структурой»

1.1. Требования к выполнению задания. 3

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. 4

2.1. Обзор КИХ-фильтров. 8

2.2. Обзор БИХ-фильтров. 9

2.3. Нелинейный медианный фильтр. 9

3. РЕАЛИЗАЦИЯ LABVIEW. 10

3.1. Фильтр Баттерворта. 11

3.2. Фильтр Чебышева. 15

3.3. Инверсный фильтр Чебышева. 16

3.4.Эллиптический фильтр. 18

3.5. Фильтр Бесселя. 20

3.6. Фильтр нижних частот с равномерными пульсациями. 22

3.7. Фильтр верхних частот с равномерными пульсациями. 24

3.8. Полосовой фильтр с равномерными пульсациями. 24

3.9. Режекторный фильтр с равномерными пульсациями. 25

3.10. Оконный КИХ-фильтр. 25

3.11. Медианный фильтр. 28

3.12. Инверсный f-фильтр. 30

3.13. Фильтр с нулевым смещением фазы. 32

Читайте также:  Как выделить две ячейки в excel

4. ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. 35

4.1. Пример выполнения задания. 35

4.2. Варианты заданий. 40

4.3. Содержание отчета. 41

4.4. Контрольные вопросы. 41

5. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 42

Изучить теоретические сведения о цифровой фильтрации; выполнить фильтрацию измеренного датчиком сигнала; оценить точность (ошибку) фильтрации.

1.1. Требования к выполнению задания:

1. Написать программу, реализующую фильтрацию сигналов

2. Предусмотреть визуализацию сигналов

3. Описать основные алгоритмы программы.

4. Оформить отчет.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Общее соотношение между процессами x(t) на входе и y(t) на выходе линейного фильтра дается интегралом свертки вида

где – весовая функция фильтра.

Интеграл в интегральном уравнении (1) есть свертка функций и x(t). Частотная характеристика фильтра представляет собой преобразование Фурье (F-преобразование) функции

где f – частота, Гц.

Идеальные АЧХ НЧ, ВЧ и полосового фильтров:

|H(f)|
f
f
|H(f)|
f
f
|H(f)|
f
f1
Рис. 1 ииИиРеальная АЧХ НЧ фильтра Реальная АЧХ НЧ фильтра
Рис. 2
Рис. 3
f2

Реальные АЧХ НЧ, ВЧ и полосового фильтров:

Рис. 4 Реальная АЧХ НЧ фильтра Рис. 5 Реальная АЧХ ВЧ фильтра

|H(f)|
f

Рис. 6 Реальная АЧХ полосового фильтра

В зависимости от частотного диапазона, который фильтры либо пропускают, либо ослабляют, они могут быть классифицированы на следующие типы:

Низкочастотный фильтр – пропускает низкие частоты, но ослабляет высокие.

Высокочастотный фильтр – пропускает высокие частоты, но ослабляет низкие.

Полосовой фильтр – пропускает определенную полосу частот.

Заграждающий фильтр – ослабляет определенную полосу частот.

Частотные характеристики перечисленных фильтров:

1) Импульсная характеристика ЦФ h[k] – это его отклик на единичный импульс, т.е.сигнал, заданный последовательностью: x[0]=1 и x[i]=0 при i ≠ 0.

2) ДПФ от импульсной характеристики есть частотная характеристика или коэффициент передачи фильтра H[n]:

3) По виду импульсной характеристики ЦФ делятся на две группы: КИХ- фильтры (FIRfilters) — фильтры с импульсной характеристикой, имеющей конечную длительность, и БИХ-фильтры (IIR-filters), у которых импульсная характеристика длится бесконечно БИХ-фильтры (IIR-filters), у которых импульсная характеристика длится бесконечно долго

4) По аналогии с линейным аналоговым фильтром, который описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, цифровой фильтр описывается линейным уравнением в конечных разностях:

Здесь: X[ n] и Y[k] — входная и выходная последовательности (сигналы); B[m] – «прямые» коэффициенты (Forward Coefficients); A[n] – «обратные» коэффициенты (Reverse Coefficients).

Если все A[n]=0 получим КИХ-фильтр, – фильтр с конечной импульсная характеристикой если A[n] ≠ 0 – БИХ-фильтр, фильтр с – бесконечная импульсная характеристика.

2.1. Обзор КИХ-фильтров

КИХ – фильтры представлены набором из 4-х ВП, каждый из которых реализует один из 4-х перечисленых выше типов фильтров с одинаковым уровнем неравномерности в полосах пропускания и режекции: Equi-Ripple LowPass.vi … Equi-Ripple BandStop.vi. Отдельный ВП FIR Widowed Filter.vi является универсальным и в зависимости от значения входа filter type позволяет реализовать любой тип фильтра. Значение входа «Отводы» (Taps) должно быть четным для высокочастотных и заграждающих фильтров, так как если оно четное, то амплитудная характеристика стремится к нулю при приближении значения частоты к половинному значению частоты дискретизации. Чем больше эта величина, тем длиннее импульсная характеристика фильтра и, соответственно, дольше длится переходный процесс (тем больше задержка появления сигнала на выходе фильтра). Приведенный ниже пример позволяет познакомиться с характеристиками универсального КИХ-фильтра. Комментарии: 1) значение f вч влияет на работу ВП только для полосовых фильтров (пропускающего и заграждающего) и определяет верхнюю частоту полосы; 2) ошибка отличается от нуля, если задано сочетание параметров, при котором невозможен синтеза фильтра; 3) обратите внимание, что ФЧХ фильтров всегда линейна; 4) для получения непрерывной зависимости фазы от частоты использован ВП Unwrap Phase.vi; 5) для получения на выходе фильтра импульсной характеристики на его вход подается одиночный импульс, генерируемый ВП Impuls Pattern.vi; 6) частотная характеристика вычисляется как БПФ от импульсной.

Читайте также:  Как зайти в настройки айпада

2.2. Обзор БИХ-фильтров

Первый ряд палитры Signal Processing®Filters содержит набор ВП БИХ-фильтрации различных видов (см. таблицу ниже). Тип фильтра выбирается соответствующим элементом управления. Не рекомендуется выбирать порядок БИХ-фильтров больше 20, т.к. это может привести к неустойчивости.

2.3. Нелинейный медианный фильтр (Signal Processing>Filters)

Наряду с линейными фильтрами, в LabVIEW включен т.н. «медианный фильтр» (Median Filter.vi). Его основное назначение – устранять из сигналов импульсные помехи. При этом такой фильтр практически без искажений пропускает «ступеньку». Это свойство делает его 2-мерный вариант незаменимым при очистке изображений от коротких импульсных помех. Контуры элементов изображения при этом не размываются. Применение традиционного ФНЧ привело бы к расплыванию изображения.

3. РЕАЛИЗАЦИЯ LABVIEW

Виды фильтров наиболее часто применяющихся на практике, также их основные характеристики:

■ фильтры Баттерворта характеризуются гладкостью частотной характеристики на всех частотах. Они имеют наиболее плоскую характеристику в полосе пропускания и ноль в полосе заграждения;

■ фильтры Чебышева имеют малую амплитуду ошибки в полосе пропускания, большую крутизну спада в переходной полосе (по сравнению с фильтрами Баттерворта), плоскую характеристику в полосе заграждения, а так же характеризуются наличием выброса перед переходной полосой;

■ инверсные фильтры Чебышева имеют малую амплитуду ошибки в полосе заграждения и наиболее плоскую характеристику в полосе пропускания.

■ эллиптические фильтры характеризуются самой высокой крутизной в переходной полосе.

Существуют и другие цифровые фильтры. Они также представлены в LabView. Их можно найти в панеле Functions ® Signal Processing ® Filters.

Рис. 7 Панель Functions

3.1. Фильтр Баттерворта

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта -го порядка:

Создадим этот и фильтр и рассмотри его входы, за что каждый из них отвечает.

1) Найдем в Filters фильтр Баттерворта (Butterworth).

Так он выглядит

2) Добавим входы. Для этого необходима катушка (Connector Wire) в панели Tools. Если этой панели нет, то выведем ее на экран через View ® Tools Palette. При наведении катушки на фильтр высвечиваются входы. Они все подписаны.

Например, добавим “filter type”. Наведем катушкой на данный вход и нажмем правой клавишей мышки на него. Create ® Control.

Рис. 8 Создание выходов фильтра

Создадим таким образом входы: входной массив (X); частоту дискретизации (sampling freq); верхняя частоту среза (high cutoff freq), нижнюю частоту среза (low cutoff freq), порядок фильтра (order), «Сбросить/Продолжить» (init/cont).

Рис.9 Выходы фильтра Баттерворта (Butterworth).

3) Создадим оставшиеся 2 выхода: «ошибка» (error) и отфильтрованный массив (Filtered X).

Рис.10 Создание индикатора

Рис. 11 Фильтр Баттерворта с выходами

Рис. 12 Фильтр Баттерворта с выходами

Частота дискретизации (sampling freq) определяет количество выборок в секунду. Частота дискретизации не может быть меньше 0, значение по умолчанию — 1.

Верхняя частота среза (high cutoff freq) использу­ется только для полосовых и режекторных фильтров. Верхняя частота среза должна быть больше нижней, а так­же отвечать условию Найквиста, значение по умолчанию — 0,45. Для фильтров верхних и нижних частот данный вход игнорируется.

Нижняя частота среза (low cutoff freq) использует­ся для всех типов фильтров, по умолчанию равна 0,125.

Порядок фильтра (order) устанавливает порядок фильтра, который обязатель­но должен быть боль­ше 0. По умолчанию устанавли­вается вто­рой поря­док фильт­ра.

«Сбросить/Продолжить» (init/cont) управля­ет инициализацией внутренних состояний фильтра. Если на входе значение "FALSE" — внутренние состояния сбрасы­ваются в 0. При установке на этот вход значения "TRUE" — текущие внутренние состояния фильтра будут равны сос­тояниям, установленным во время предыдущего исполь­зования этого VI.

Фильтр Чебышева

Читайте также:  Пропали данные с флешки как восстановить

Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра -го порядка задаётся следующим выражением:

где — показатель пульсаций, — частота среза, а — многочлен Чебышёва -го порядка.

Этот VI имеет такие же входы и выходы, как и рас­смотренный выше фильтр Баттерворта, за исключением входа Пульсации (ripple).

Фильтр Чебышева (Chebyshev)

Рис. 13 Фильтр Чебышева с выходами

Рис. 14 Фильтр Чебышева с выходами

Рис. 15 Панель управления фильтра Чебышева

Фильтры Чебышёва обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ.

Инверсный фильтр Чебышева

Амплитудная характеристика такого фильтра задаётся следующим выражением: .

Рис. 16 Инверсный фильтр Чебышева с выходами (Inv Chebyshev)

Рис. 17 Инверсный фильтр Чебышева с выходами (Inv Chebyshev)

Рис. 18 Панель управления инверсного фильтра Чебышева

Этот тип VI отличается от рассмотренного тем, что вместо входа Пульсации присутствует вход Затухание (attenuation). Значение затухания должно быть больше нуля и зада­ваться в дБ, по умолчанию — 60.

Эллиптический фильтр

Эллиптический фильтр является своего рода объе­динением инверсного и обычного фильтров Чебышева. Благодаря входу Пульсации в полосе пропускания (pass- band ripple), Вы управляете величиной выбросов в облас­ти пропускания, а вход Затухание в полосе заграждения (stopband attenuation) отвечает за ослабление в области заграждения.

Амплитудно-частотная характеристика эллиптического фильтра низких частот:

Эллиптический фильтр (Фильтр Кауэра) — электронный фильтр, характерной особенностью которого являются пульсации амплитудно-частотной характеристики как в полосе пропускания, так и полосе подавления. С помощью этого фильтра можно достигать более эффективного разделения частот, чем с помощью других линейных фильтров.

Рис.19 Эллиптический фильтр (Elliptic) с выходами

Рис.20 Эллиптический фильтр (Elliptic) с выходами

Рис. 21 Панель управления эллиптического фильтра (Elliptic)

Фильтры первого рода. Фильтры Чебышева с пульсациями передаточной функции в полосе пропускания и гладким затуханием в полосе подавления называют фильтрами Чебышева первого рода, в отличие от инверсных фильтров Чебышева (второго рода). Аппроксимационная формула фильтров Чебышева первого рода определяется выражением:

где ТN(W) — многочлен Чебышева N-го порядка:

Tn(W) = cos(n arccos(W)), W 1. (10.4.2)

= ch(n arcch(W)), W>1. n = 1,2.

Критерий приближения Чебышева, который широко используется не только в теории фильтров — минимум максимальной ошибки приближения (минимаксное приближение). В соответствии с этим приближением параметры передаточной функции подбираются таким образом, чтобы в полосе передачи АЧХ наблюдались равноволновые пульсации коэффициента передачи, которые являются "платой" за повышение крутизны среза фильтра.

Полиномы Чебышева вычисляются по рекуррентной формуле:

Для ФНЧ при W = w/wp имеет место Тn(1) = 1, |H(W)| 2 = 1/(1+d 2 ) и значением d задается коэффициент пульсаций в полосе передачи. При задании полосы по уровню Аp значение d рассчитывается аналогично фильтру Баттеруорта.

Соответственно, при задании Аs на границе полосы подавления, имеем:

N = arcch[ /d] / arcch(ws/wp). (10.4.5)

Дальнейшие расчеты идентичны расчетам фильтров Баттеруорта, равно как и частотные преобразования фильтров ФНЧ в ФВЧ и ПФ.

Фильтры второго рода. Для фильтров Чебышева второго рода, с гладкой передаточной характеристикой в зоне пропускания и равноволновыми пульсациями в зоне подавления, используется функция:

где W = w/wp, Ws = ws/wp. Условие задания параметра d остается без изменений. На границе полосы подавления при w = ws: 1+d 2 TN 2 (ws/wp) = 1/As 2 , откуда значение N также определяется аналогично фильтру первого рода. Дальнейший порядок расчетов фильтров Чебышева второго рода не отличается от фильтров первого рода.

Курсовая работа 17-07.Разработка программы расчета универсального частотного цифрового фильтра Чебышева (низкочастотный, высокочастотный, полосовой) и фильтрации цифровых сигналов.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9820 — | 7504 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Установить программу для сканирования документов бесплатно
Загрузите бесплатно пробную полнофункциональную версию программы для сканирования Scanitto Pro. Данная версия работает без каких-либо ограничений в течение 30 дней....
Террария мешок с сюрпризом
Мешок с сокровищамиTreasure Bag Характеристики Тип Мешок Подсказка Открывать правой кнопкой мыши Редкость Внутренний ID предмета: 3318-3332 Эксклюзивный контент ПК...
Термопринтер для печати чеков
Термопринтер для чеков — это печатное устройство, которое применяется в торговле и ряде других сфер. Большинство моделей являются стационарными и...
Установить протокол mtp media transfer protocol
Описание Компания Microsoft содержит под своим крылом множество драйверов, среди этой коллекции находится и Media Transfer Protocol, тот самый драйвер,...
Adblock detector