Численное решение уравнения шредингера

Численное решение уравнения шредингера

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемВсеволод Рыжих

Похожие презентации

Презентация на тему: " Численное решение уравнения Шредингера для квантовых точек Гришанин Александр, Попов Александр Михайлович." — Транскрипт:

1 Численное решение уравнения Шредингера для квантовых точек Гришанин Александр, Попов Александр Михайлович

2 Квантовые точки – составляющие гетероструктуру наноразмерные кристаллы полупроводника. Применение квантовых точек : новейшее изобретение — память на фазовых переходах

3 Постановка задачи на собственные числа Уравнение : Условия сшивки: Функция непрерывна, а её производная терпит разрыв:

4 Постановка задачи на собственные числа для уравнения Шредингера После обезразмеривания:

5 Численная схема Использовался метод обратной итерации: Граничные условия:

6 Модельный случай : яма с бесконечными стенками Рассчитанное E Настоящее с. з. Модуль разности C- норма вычисленной с. ф. и аналитической 0, ,000190, , ,003280, , ,015020, , ,047290, , ,114910, , , , Количество точек N=80

7 Модельный случай : Осциллятор Рассчитанное E Настоящее с. з. Модуль разности 2,5 0 3,5 0 4,499994,50, ,499995,50, ,499986,50, ,499987,50, ,499978,50, ,499969,50, , ,50, , ,50, , ,50,00006 Количество точек N =

8 Модельный случай : Прямоугольный барьер Вид собственной функции: Рассчитанное E Настоящее с. з. Модуль разности 0,411610,411640, ,631361,63150, ,583393,583690,0003 5,339955,340, ,884455,884730, ,409756,410050, ,390687,390730, ,757198,757270,00008

9 Решения модельных функций Решение для прямоугольной потенциальной функции.

10 Решения модельных функций Решение для параболической потенциальной функции.

барьера" title="Собственная функция > барьера" > 11 Собственная функция > барьера барьера"> барьера"> барьера" title="Собственная функция > барьера">

12 Изучение зависимости собственного значения от размера и формы потенциальной функции

13 1) Была проведена работа по численному решению уравнения Шредингера для квантовых точек. 2) Был реализован алгоритм, решающий уравнение Шредингера. 3) Были составлены аналитические тесты для проверки численного решения и проанализированы результаты расчетов. 4) Планируется решить аналогичные задачи в двухмерном случае.

Метод Нумерова

Рассмотрим решения одномерного стационарного уравнения Шредингера (3.1) частицы, движущейся в одномерном потенциале U(x).

Будем при этом полагать, что его форма имеет потенциала, представленного на рис.1: в точках xmin, xmax потенциал становится бесконечно большим. Это означает, что в точках xmin, xmax расположены вертикальные стенки, а между ними находится яма конечной глубины.

Для удобства дальнейшего решения запишем уравнение Шредингера (3.1) в виде:

С математической точки зрения задача состоит в отыскании собственных функций оператора, отвечающим граничным условиям

и соответствующих собственных значений энергии E.

Так как при и при , , то можно ожидать, что собственному решению данной задачи соответствует собственная функция, осциллирующая в классически разрешенной области движения и экспоненциально затухающим в запрещенных областях, где ,, при , . Так как все состояния частицы в потенциальной яме оказываются связанными (т.е. локализованными в конечной области пространства), спектр энергий является дискретным. Частица, находящаяся в потенциальной яме конечных размеров при , при , имеет дискретный спектр при и непрерывный спектр при .

Традиционно для решении задачи о нахождении собственных значений уравнения Шредингера используется метод пристрелки. Идея метода пристрелки состоит в следующем. Допустим, в качестве искомого значения ищется одно из связанных состояний, поэтому в качестве пробного начального значения энергии выбираем отрицательное собственное значение. Проинтегрируем уравнение Шредингера каким-либо известным численным методом на интервале . По ходу интегрирования от в сторону больших значений сначала вычисляется решение , экспоненциально нарастающее в пределах классически запрещенной области. После перехода через точку поворота , ограничивающую слева область движения разрешенную классической механикой, решение уравнения становится осциллирующим. Если продолжить интегрирование далее за правую точку поворота , то решение становится численно неустойчивым. Это обусловлено тем, что даже при точном выборе собственного значения, для которого выполняется условие , решение в области всегда может содержать некоторую примесь экспоненциально растущего решения, не имеющего физического содержания. Отмеченное обстоятельство является общим правилом: интегрирование по направлению вовнутрь области, запрещенной классической механикой, будет неточным. Следовательно, для каждого значения энергии более разумно вычислить еще одно решение , интегрируя уравнение (3.1) от в сторону уменьшения . Критерием совпадения данного значения энергии является совпадение значений функций и в некоторой промежуточной точке . Обычно в качестве данной точки выбирают левую точку поворота . Так как функции , являются решениями однородного уравнения (3.1), их всегда можно нормировать так, чтобы в точке выполнялось условие . Помимо совпадения значений функций в точке для обеспечения гладкости сшивки решений потребуем совпадения значений их производных

Читайте также:  Как получить баллы м видео

Используя в (17) простейшие левую и правую конечно-разностные аппроксимации производных функций , в точке , находим эквивалентное условие гладкости сшивки решений:

Число является масштабирующим множителем, который выбирается из условия Если точки поворота отсутствуют, т.е. E>0, то в качестве можно выбрать любую точку отрезка . Для потенциалов, имеющих более двух точек поворота и, соответственно, три или более однородных решений, общее решение получается сшивкой отдельных кусков. В описанном ниже документе, для интегрирования дифференциального уравнения второго порядка мы используем метод Нумерова. Для получения вычислительной схемы аппроксимируем вторую производную трехточечной разностной формулой:

Из уравнения (3.1) имеем

Подставив (3.7) в (3.8) и перегруппировав члены, получаем

Разрешив (3.9) относительно или , найдем рекуррентные формулы для интегрирования уравнения (3.1) вперед или назад по c локальной погрешностью . Отметим, что погрешность данного метода оказывается на порядок выше, чем погрешность метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Кроме того данный алгоритм более эффективен, потому что значение функции вычисляются только в узлах сетки. Для нахождения численного решения оказывается удобным провести обезразмеривание уравнения (3.1), используя в качестве единиц измерения расстояния — ширину потенциальной ямы, в качестве единиц измерения энергии — модуль минимального значения потенциала . В выбранных единицах измерения уравнение (3.1) имеет вид

Таким образом, вычислительный алгоритм для нахождения собственных функций и собственных значений уравнения Шредингера реализуется следующей последовательностью действий:

1. Задать выражение, описывающее безразмерный потенциал .

2. Задать значение .

3. Задать пространственную сетку, на которой проводится интегрирование уравнения (3.1).

5. Задать начальное значение энергии .

6. Задать конечное значение энергии .

7. Задать шаг изменения энергии .

8. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии слева направо на отрезке .

9. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии справа налево на отрезке .

10. Вычислить значения переменной для значения энергии .

11. Увеличить текущее значение энергии на : .

12. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии слева направо на отрезке .

13. Проинтегрировать уравнение (3.1) для значения энергии справа налево на отрезке .

14. Вычислить значения переменной для значения энергии .

15. Сравнить знаки ,

16. Если и , увеличить текущее значение энергии на и повторить действия, описанные в пп. 817.

17. Если , уточнить методом линейной интерполяции.

18. Если , повторить действия, описанные в пп. 818.

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Дегтярев А. А., Деркач А. Е.

Для решения уравнения Шредингера, описывающего распространение электромагнитной волны в нелинейной среде, используется консервативная разностная схема с итерационным уточнением, которая имеет квадратичный порядок точности по направлению распространения волны и близкий к квадратичному по радиальной переменной. Результаты, полученные с помощью вычислительных экспериментов, полностью подтверждают теоретические исследования. Важной особенностью данного метода является возможность моделирования процесса распространения волны на расстояние порядка десятков метров в нелинейной среде.

Читайте также:  Как настроить музыку на ноутбуке

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Дегтярев А. А., Деркач А. Е.

Текст научной работы на тему «Численное решение нелинейного уравнения Шредингера в радиально-симметричном случае»

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА В РАДИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ СЛУЧАЕ

А.А. Дегтярев, А.Е Деркач.

Самарский государственный аэрокосмический университет

Для решения уравнения Шредингера, описывающего распространение электромагнитной волны в нелинейной среде, используется консервативная разностная схема с итерационным уточнением, которая имеет квадратичный порядок точности по направлению распространения волны и близкий к квадратичному по радиальной переменной. Результаты, полученные с помощью вычислительных экспериментов, полностью подтверждают теоретические исследования. Важной особенностью данного метода является возможность моделирования процесса распространения волны на расстояние порядка десятков метров в нелинейной среде.

Как известно [1], нелинейное уравнение Шредингера является частным случаем волнового уравнения в параболическом приближении и с учетом эффекта самовоздействия. Эффект самовоздействия проявляется при распространении оптического излучения в средах с кубичной нелинейностью (поляризация пропорциональна напряженности электрического поля в третьей степени).

С учетом этого эффекта уравнение Шредингера в радиально-симметричном случае запишется как [2]

dz Ikn, 0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Функция ф(г) описывает напряженность электрического поля волны на входе в среду (волновод), а нулевые граничные условия показывают, что среда (волновод)ограничены проводящей оболочкой.

Без учета нелинейных эффектов уравнение Шредингера принимает вид

В дальнейшем уравнение (1) будем называть нелинейным уравнением Шредингера, а уравнение (3) — линейным уравнением.

1. Расчетная конечно-разностная схема

с итерационным уточнением Для численного решения системы (1)-(2) построим консервативную разностную схему [2]. Определим сетку

zk = k ■ hy, k = 0,K -1, hy = L /K

гг = (г + 0,5) • Нг, г = 0,1 -1, Нг = К /(I + 0,5) где , Нг — шаги по переменной 7, описывающей направление распространения волны, и по радиальной переменной соответственно.

Оператор Лапласа по переменной г аппроксимируем следующим разностным оператором [3]:

1 / ч А (г + Нг) — А(г) Л гА(г) =-(г + 0.5НГ))-г—— —

— (г — 0.5Иг )А(Г) — А(Г — Иг),

причем Лг =ЛгА + о(кГ: / г) для достаточно гладкой функции А. Задаче (1)-(2) поставим в соответствие следующую двухслойную нелинейную разностную схему:

а(0, г ) = р(г) а(, К )= 0

А(т,, г) = 0.5(а^ + Н2, г) + а(, г)).

Система разностных уравнений (4) является нелинейной. Для нахождения неизвестной функции а(р + Нг, г) можно использовать итерационный метод последовательных приближений в сочетании с разностной прогонкой по г:

a (z + hz, r)- a(z, r) i s+>,

a(z + hz, R )= 0, A(z, r)= 0.5| a(z + hz, r)+ a(z, r)

i(z + hz, r)= u(z, r) s = 0,1.

Теоретические исследования сходимости схем вида (5) приведены в работе [2].

Необходимо также отметить, что так как данная схема является консервативной, она — аналог интегральной формы закона сохранения электромагнитной энергии в среде.

2. Вычислительные эксперименты для среды с постоянным показателем преломления

Читайте также:  Перевод в разные системы счисления калькулятор

Рассмотрим сначала аналитическое решение линейного уравнения, то есть пнл = 0. В этом случае решение задачи (1) запишем в виде

а /ит — нули функции Бесселя нулевого порядка.

Для простоты выберем начальное условие в виде функции Бесселя нулевого порядка

тогда, используя свойство ортонормированности Бесселевых функций, получаем

Со = 1, Ст = 0, т = 1,2. в результате решение системы (1) — (2) будет иметь вид

2.1. Результаты экспериментальных исследований линейного уравнения

Пучок, описываемый формулой (6), является стационарным, так как и (г,= и (г,0)2, то есть распределение интенсивности в плоскости ОХУ не зависит от расстояния г. Это распределение изображено на рис. 1.

Рис. 1. Распределение интенсивности волны в линейной среде.

На рис. 2-3 приведены результаты численного решения линейного уравнения Шредингера на различных расстояниях от входа в среду.1

В расчетах были использованы следующие значения параметров: Я=50 мкм;

Х=0,63 мкм, причем Х=2л/к; П0=1.

Рис. 2. Распределение интенсивности волны на расстоянии Ь от входа в среду (Ь = 1м, пг = 1000, пг = 100).

Рис.3. Распределение интенсивности волны на расстоянии Ь от входа в среду (Ь = 10м, пг = 1000, пг = 100).

Как видно из приведенных графиков результат численного решения уравнения Шредингера полностью совпадает с результатом аналитического решения. Это подтверждает правильность выбора консервативной разностной схемы (5) для вычислительных экспериментов с уравнением Шредингера.

3.2. Численное решение нелинейного уравнения Шредингера

На рис.4-6 приведены результаты численного решения нелинейного уравнения Шредингера со

Х=0,63 мкм, причем Х=2л/к;

В дальнейшем использованы следующие обозначения: пг — количество интервалов разбиений по радиусу; пг — количество интервалов разбиений по оси 2. Белым цветом изображается график решения линейного уравнения (3), а серым цветом — график численного решения уравнения Шредингера (1)-(2).

пнл 2=0,001, причем пнл >0.

В работе [1] показано, что при пнл >0 происхо-пучка на расстоянии

от входа в нелинейную среду.

Самодефокусировка пучка На рис. 7-10 приведены результаты численного решения нелинейного уравнения Шредингера со следующими параметрами: R = 50 мкм;

X = 0,63 мкм, причем X=2n/k; п0=1;

пнл 2=0,001, причем пнл Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Будем искать решение уравнения в виде

Подставляя (8) в уравнение (1), получаем фак-торизованное уравнение

где f — произвольная константа.

Таким образом, B(z) = C exp| i — z

Представим A(r) в виде произведения двух функций

Осуществим еще одну замену переменных

Решением уравнения (16) являются многочлены Лагерра

X = Ls (а’ ) = Ls причем

s =- Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Для того чтобы обеспечить выполнение граничного условия, выберем аргумент многочлена Лагерра, равный десятому нулю функции.

После подстановки (11) и (10) в (8) получаем

д2 X 4r dX 1 dX +

0 X = 0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П.

Теория волн // М., Наука. 1979.

2. Карамзин Ю.Н., Сухоруков А.П., Трофимов В. А. Математическое моделирование в нелинейной оптике // М., Изд-во Моск. ун-та. 1989.

3. Самарский А.А. Теория разностных схем // М., Наука. 1977.

4. Адамс М. Введение в теорию оптических волноводов // М., Мир. 1984.

Ссылка на основную публикацию
Хрипит динамик на телефоне при прослушивании
Одной из самых распространенных поломок мобильных аппаратов является выход из строя динамика. Любой пользователь мобильных телефонов знает, что сейчас производители...
Установить программу для сканирования документов бесплатно
Загрузите бесплатно пробную полнофункциональную версию программы для сканирования Scanitto Pro. Данная версия работает без каких-либо ограничений в течение 30 дней....
Установить протокол mtp media transfer protocol
Описание Компания Microsoft содержит под своим крылом множество драйверов, среди этой коллекции находится и Media Transfer Protocol, тот самый драйвер,...
Хэнкок из какой вселенной комиксов
Хэнкок Общая информацияЖанр Научная фантастика Драма Комедия Страна производстваСШАКиностудия Columbia Pictures РежиссёрПитер БергАвтор сценария Винс Джиллиган Винсент Нго Когда вышел2008...
Adblock detector